გარდაცვლილი რონალდ გრემი ორ საქმეს აერთიანებდა. ის ცნობილი მათემატიკოსი და ამერიკის მათემატიკური საზოგადოების ყოფილი პრეზიდენტი იყო. ამასთან, სერიოზულად იყო გატაცებული ჟონგლიორობით და ჟონგლიორთა საერთაშორისო ასოციაციასაც ხელმძღვანელობდა. „მას ტრიუკები უყვარდა“, თქვა ფან ჩუნგმა, კალიფორნიის უნივერსიტეტის სან-დიეგოს მათემატიკოსმა და გრემის მეუღლემ. „ბურთის ტრიალი, საკიდის ტრიალი, რამდენიმე ბურთის ერთად ტრიალი, კედელზე კალმების სროლა“.
ზოგჯერ გრემი ორივე საქმეს ერთდროულად მისდევდა. „საინტერესოა, რომ ბევრ მათემატიკოსსა და კომპიუტერულ მეცნიერს ჟონგლიორობა აინტერესებს“, თქვა მან 1980 წლის სატელევიზიო ინტერვიუში. „ვფიქრობ, ამის მიზეზი ნიმუშებისა და სტრუქტურის ძიებაა“.
მოგვიანებით მან ჟონგლიორობის მათემატიკაზე არაერთი ნაშრომი დაწერა, მათ შორის ჩუნგთან ერთად. თუმცა ამ კავშირის მკაფიოდ ჩამოყალიბებამდე, 1971 წელს, მან კითხვა დასვა, რომელიც, ზოგი მათემატიკოსის აზრით, შესაძლოა ჟონგლიორობამაც შთააგონა.
აიღეთ სხვადასხვა მთელი რიცხვის შემთხვევითი ნაკრები, რომელშიც ნული არ შედის. შესაძლებელია თუ არა მათი ყოველთვის ისე გადანაცვლება, რომ პირველი ორი რიცხვის, შემდეგ პირველი სამი რიცხვის, შემდეგ პირველი ოთხისა და ასე შემდეგ ჯამები ყოველთვის განსხვავებული იყოს? ჟონგლიორობის ენაზე ეს იმას ნიშნავს, რომ თუ თითოეული ბურთი ჰაერში განსხვავებული დროით რჩება, ყოველთვის შეიძლება მათი სროლის ისეთი რიგის პოვნა, რომ ორი ბურთი ერთსა და იმავე დარტყმაზე არ დაეცეს და წარმოდგენა არ ჩაშალოს.
თუ ყველა რიცხვი დადებითია, გრემის კითხვაზე პასუხი აშკარად დადებითია: რიცხვების მიმატებასთან ერთად ჯამი ყოველთვის იზრდება. ცნობილია, რომ პასუხი დადებითია იმ შემთხვევაშიც, როცა ნაკრებში დადებითი და უარყოფითი რიცხვებია. მაგრამ რა ხდება, თუ რიცხვები სასრულ სისტემაშია, მაგალითად, საათის გარშემო განლაგებულ რიცხვებში, რომლებიც გარკვეული რაოდენობის შემდეგ მეორდება?
სწორედ ამის გაგება სურდა გრემს. მას მიაჩნდა, რომ პასუხი კვლავ დადებითი უნდა ყოფილიყო. მისი აზრით, მკაცრი შეზღუდვების პირობებშიც ხშირად მოიძებნება საკმარისი მოქნილობა განსაკუთრებული ნიმუშებისა თუ სტრუქტურების შესაქმნელად. მაგალითად, მრავალი წესის მიუხედავად, ჩვეულებრივ შესაძლებელია ისეთი სუდოკუს ან ლათინური კვადრატის შედგენა, რომელიც ყველა პირობას აკმაყოფილებს. „ეს კარგად ერგება დიზაინებსა და უაღრესად სიმეტრიულ სტრუქტურებზე დასმულ კითხვებს“, თქვა პრინსტონის უნივერსიტეტის მათემატიკოსმა ნოგა ალონმა. თუმცა ათწლეულების განმავლობაში ვერავინ დაამტკიცა, რომ გრემის ინტუიცია სწორი იყო.
ეს ცოტა ხნის წინ შეიცვალა, როცა რამდენიმე ახალგაზრდა მათემატიკოსი ამ პრობლემას მიუბრუნდა. ოთხი ნაშრომისა და მათემატიკის რამდენიმე დარგის მომცველი მტკიცებით, მათ საბოლოოდ ამოხსნეს გრემის გადანაცვლების ვარაუდი. ბოლო ნაშრომი, რომელიც ბონის უნივერსიტეტის ლიზა ზაუერმანმა და ჩიკაგოს უნივერსიტეტის ჰუი ტუან ფამმა დაწერეს, 2026 წლის თებერვალში გამოქვეყნდა და პრობლემა ოფიციალურად დახურა.
ნაშრომებს ერთი მთავარი იდეა აერთიანებდა: შემთხვევითობის ძალა, რომელიც ნიმუშებს ავლენს. ალონის თქმით, პრობლემა „თანამშრომლობის ძალამ, ახალგაზრდა თაობის ძალამ და ალბათურმა მეთოდებმა“ ამოხსნა.
ოქსფორდის უნივერსიტეტის მათემატიკოს ალპ მიუსერს ხშირად იზიდავს ისეთი პრობლემები, რომელთა ამოხსნასაც ორი რამ სჭირდება: შემთხვევითი პროცესი და დამატებითი ელემენტი. 2022 წელს, ჯერ კიდევ ასპირანტობისას, ერთი ასეთი ამოცანის ამოხსნის შემდეგ, ის გრემის ვარაუდს წააწყდა და მიხვდა, რომ ახლად დასრულებული მტკიცება ამ შემთხვევაშიც დაეხმარებოდა.
ვარაუდი საათობრივ არითმეტიკას ეხება. ჯერ მთელ რიცხვებს რიცხვით ღერძზე ათავსებთ, შემდეგ კი ამ ღერძს საათის ციფერბლატივით ახვევთ, რათა რიცხვები რომელიმე მარტივი რიცხვის, p-ის, შემდეგ განმეორდეს. ვთქვათ, p არის 7. ამ სისტემაში 0, 7, 14 და 7-ის ყველა სხვა ჯერადი ეკვივალენტურია. ეს ნიშნავს, რომ ორი დადებითი რიცხვის, მაგალითად, 3-ისა და 4-ის მიმატებით შეიძლება ნული მივიღოთ.
გრემის კითხვა ასეთი იყო: თუ ამ რიცხვითი ღერძიდან ნულისგან განსხვავებულ ნებისმიერ რიცხვთა ნაკრებს ავიღებთ, p-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის შევძლებთ თუ არა მათ ისე გადანაცვლებას, რომ მიღებული ნაწილობრივი ჯამები ყველა განსხვავებული იყოს?
სირთულე იმაზეა დამოკიდებული, რამდენად დიდია ნაკრები p-სთან შედარებით. რაც უფრო მეტ რიცხვს აირჩევთ, მით მეტი ჯამის გაკონტროლებაა საჭირო. თუმცა, რაც უფრო ნაკლებ რიცხვს აირჩევთ, მათი გადანაცვლების შესაძლო ვარიანტებიც ნაკლები იქნება. ამ სხვადასხვა შემთხვევას განსხვავებული მიდგომები სჭირდება.
მიუსერმა და მისმა ყოფილმა ხელმძღვანელმა, ლონდონის საუნივერსიტეტო კოლეჯის ალექსეი პოკროვსკიმ, იმ შემთხვევაზე იმუშავეს, როცა ნაკრებში p-მდე არსებული შესაძლო რიცხვების თითქმის ყველა რიცხვია. ასეთი დიდი ნაკრებისთვის სწორი რიგის შექმნა შეიძლება ძალიან რთული იყოს. თუმცა აღმოჩნდა, რომ შემთხვევითი რიგით დაწყება მიზნის დიდ ნაწილს აღწევდა.
„კომპიუტერული მეცნიერები ამას ხშირად თივის ზვინში ნემსის პოვნის პრობლემას უწოდებენ“, თქვა მიუსერმა. შესაძლოა, იცოდეთ, რომ ბევრი კარგი რიგი არსებობს, მაგრამ მათი პოვნა რთულია. „თუ შემთხვევით იმოქმედებთ, დიდი ალბათობით გამოგივათ, მაგრამ ძნელია მკაფიოდ აღწეროთ, როგორი უნდა იყოს ამოხსნა“.
მიუსერსა და პოკროვსკის უნდა უზრუნველეყოთ, რომ რიცხვების რიგის არც ერთი მონაკვეთის ჯამი ნულის ტოლი არ ყოფილიყო. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ამ რიცხვების წინა ნაწილობრივ ჯამზე მიმატება იმავე ჯამს გაიმეორებდა.
სრულიად შემთხვევით რიგში შესაძლოა რამდენიმე ასეთი პრობლემური მონაკვეთი გაჩენილიყო. ამიტომ მიუსერმა და პოკროვსკიმ ჯერ ნაკრებიდან რამდენიმე საგანგებოდ შერჩეული რიცხვი გადადეს, დანარჩენი კი შემთხვევით აურიეს. შემდეგ შემთხვევით მიღებულ რიგში პრობლემებს ეძებდნენ. თუ ნულის ტოლჯამიან მონაკვეთს იპოვიდნენ, მის შესაცვლელად გადადებული რიცხვებიდან ერთ-ერთს ჩასვამდნენ. 2022 წელს მათ ამოხსნა გამოაქვეყნეს, თუმცა ის ნაშრომში იყო მოქცეული, რომელიც იმავე მეთოდის უფრო ზოგად პრობლემაზე გამოყენებას ეხებოდა.
რამდენიმე წლის შემდეგ ოქსფორდის უნივერსიტეტის ნოაჰ კრავიცმა, რომელმაც მიუსერისა და პოკროვსკის ამოხსნის შესახებ არ იცოდა, გრემის ვარაუდი გადაუჭრელი პრობლემების ონლაინ არქივში აღმოაჩინა. „ვნახე, որ ღია პრობლემა იყო, და ვიფიქრე, კაცობრიობისთვის სამარცხვინოა, რომ პასუხი არ ვიცით“, თქვა კრავიცმა. „ეს მდგომარეობა აუცილებლად უნდა გამოსწორებულიყო“.
მან ვარაუდის საპირისპირო მხრიდან მიდგომა გადაწყვიტა. ოქსფორდის უნივერსიტეტის ბენჯამინ ბედერტთან ერთად, მან შემთხვევა განიხილა, როცა რიცხვთა ნაკრები p-სთან შედარებით ძალიან მცირეა. ალონის მაგალითით, ეს შეიძლება იყოს 100 რიცხვისგან შემდგარი ნაკრები, როცა p ერთი მილიარდია.
კრავიცმა და ბედერტმა ამ შემთხვევებისთვის გრემის ვარაუდი დაამტკიცეს და მტკიცება 2024 წლის სექტემბერში გამოაქვეყნეს. მიუსერმა ნაშრომი ნახა და მათ დაუკავშირდა, საკუთარი ნაშრომიც გაუზიარა. შემდეგ სამივე, კიდევ ორ კოლეგასთან ერთად, მიუსერის თავდაპირველი მიდგომის გასაფართოებლად გაერთიანდა.
„ეს ადამიანების საკმაოდ მოულოდნელი ერთობა იყო“, თქვა კრავიცმა. ის და მიუსერი კომბინატორიკის ორ ისეთ დარგში მუშაობენ, რომლებიც ჩვეულებრივ არ თანამშრომლობენ. „სხვადასხვა მიმართულებაში სრულიად განსხვავებულ მეთოდებს იყენებენ“, დასძინა მან.
მათ 2025 წლის აგვისტოში გამოქვეყნებულ ნაშრომში რიცხვთა შედარებით დიდი ნაკრების კიდევ რამდენიმე შემთხვევა განიხილეს. თუმცა ამ შემთხვევებსა და კრავიცისა და ბედერტის მიერ შესწავლილ მცირე ნაკრებებს შორის შუალედი მაინც დარჩა. ვერავინ ხვდებოდა, რა უნდა გაეკეთებინა საშუალო ზომის ნაკრებებისთვის, მაგალითად, ისეთებისთვის, რომლებშიც p-ის დაახლოებით ნახევარი რაოდენობის რიცხვია. „ჩვენი მეთოდები იქ არ მუშაობდა და აშკარა მიზეზებიც არსებობდა, რატომ ვერ იმუშავებდა“, თქვა მიუსერმა.
ჩანდა, რომ პრობლემის კვლევაში შესაძლოა კიდევ ერთი ხანგრძლივი პაუზა დაწყებულიყო. შემდეგ, 2026 წლის თებერვალში, მოულოდნელი სიახლე გამოჩნდა ინტერნეტში.
ლიზა ზაუერმანი და ჰუი ტუან ფამ ძველი მეგობრები იყვნენ. ისინი 2015 წელს სტენფორდის უნივერსიტეტში გაიცნეს, სადაც ზაუერმანი ასპირანტი იყო, ფამი კი ბაკალავრიატის სტუდენტი. დღეს ისინი სხვადასხვა კონტინენტზე ცხოვრობენ: ზაუერმანი გერმანიის ქალაქ ბონში, ფამი კი ჩიკაგოში. 2025 წლის სექტემბერში გერმანიაში გამართულმა კონფერენციამ მათ დაფასთან ერთად მუშაობის იშვიათი შესაძლებლობა მისცა. შემდეგ ფამი ზაუერმანს ბონში მოკლე ვიზიტით გაჰყვა. მათ მხოლოდ სამუშაო პრობლემა სჭირდებოდათ.
კონფერენციაზე მათ მოისმინეს ორი მოხსენება გრემის ვარაუდზე, რომლის შუალედური შემთხვევების ამოხსნასაც მათემატიკოსები ცდილობდნენ, მაგრამ ვერ ახერხებდნენ. მეგობრები დაინტერესდნენ. მოგვიანებით გაირკვა, რომ ზაუერმანი მსგავსი პრობლემის წინაშე საერთაშორისო მათემატიკური ოლიმპიადის დროს, ჯერ კიდევ სკოლის მოსწავლე, აღმოჩნდა. მან ის სწორად ამოხსნა, ხოლო სკოლის დამთავრებამდე პრესტიჟულ შეჯიბრებაში ოთხჯერ მოიპოვა ოქროს მედალი. დიდი ალბათობით, ამოცანა იმ წლის გამოცდაზე ჩუნგმა შეიტანა. ის კითხვების შემდგენ კომიტეტში იყო და ხშირად შთაგონებას გრემის მრავალრიცხოვანი თავსატეხებიდან იღებდა.
სამდღიანი ვიზიტის ბოლოს ზაუერმანსა და ფამს უკვე ჰქონდათ გეგმა, როგორ ამოეხსნათ პრობლემა.
გეგმა ტექნიკურად რთულ მეთოდს, ანტიკონცენტრაციას ეყრდნობოდა. ანტიკონცენტრაციის მტკიცება ამბობს, რომ რომელიმე მოვლენის მოხდენის ალბათობა განსაკუთრებით დაბალია. თუმცა ამგვარი მტკიცებების დამტკიცება იმდენად რთულია, რომ კრავიცი და სხვები ხვდებოდნენ, ანტიკონცენტრაციის მიდგომა შეიძლება წარმატებული ყოფილიყო, მაგრამ „მისი ცდის გამბედაობა უბრალოდ არ გვეყო“, თქვა მან.
თავდაპირველად ზაუერმანი და ფამი წინამორბედების მსგავსად მოქმედեցին. მათ რიცხვთა ნაკრები შემთხვევით გადაალაგეს და асуудлыг, ანუ ნულის ტოლჯამიანი მონაკვეთების, გამოსასწორებელი პროცედურა შეიმუშავეს. ნულის ტოლჯამიან მონაკვეთს რომ იპოვიდნენ, მის ბოლო რიცხვს სხვა რიცხვით ცვლიდნენ.
ხშირად ეს პროცედურა დაბრკოლების გარეშე მუშაობდა. თუმცა სამი სახის „ცუდი მოვლენა“ შეიძლებოდა მის ჩავარდნას გამოეწვია. პირველი: ნულის ტოლჯამიანი მონაკვეთი მთლიანი რიგის ბოლოში ჩნდებოდა და მის ნაცვლად ჩასასმელი სხვა რიცხვები აღარ რჩებოდა. მეორე: ნულის ტოლჯამიანი მონაკვეთები ერთმანეთთან ძალიან ახლოს ჩნდებოდა და ყველას გამოსწორება შეუძლებელი ხდებოდა. მესამე: ერთი პრობლემური მონაკვეთის გამოსწორებას შეიძლებოდა მოგვიანებით კიდევ ერთი ნულის ტოლჯამიანი მონაკვეთი შეექმნა.
ზაუერმანი და ფამი ანტიკონცენტრაციის გამოყენებით იმედოვნებდნენ, რომ თითოეული ასეთი ცუდი მოვლენის ალბათობა საკმარისად დაბალი იქნებოდა. მაშინ აუცილებლად უნდა არსებობდეს რიცხვთა ნაკრების ისეთი გადანაცვლება, რომელიც ვარაუდს დააკმაყოფილებდა.
ამის გასაკეთებლად მათ ფურიეს ანალიზი გამოიყენეს, მათემატიკის დარგი, რომელიც ფუნქციების მარტივი ტალღების ჯამებად წარმოდგენის საშუალებას იძლევა. ამ გზით მათ აჩვენეს, რომ შემთხვევითი რიცხვების შეკრებისას, ზოგადად, რომელიმე ერთი ჯამის მიღება განსაკუთრებით მოსალოდნელი არ არის. შემდეგ ამ დასკვნაზე დაყრდნობით თითოეული ცუდი მოვლენის მოხდენის ალბათობა ზუსტად შეაფასეს. საბოლოოდ აჩვენეს, რომ ცუდი მოვლენის საერთო ალბათობა 100 პროცენტზე ნაკლებია. ეს ვარაუდის დასამტკიცებლად საკმარისი აღმოჩნდა.
გერმანიაში მუშაობიდან რამდენიმე თვის შემდეგ ზაუერმანმა და ფამმა ინტერნეტში თავიანთი 27-გვერდიანი მტკიცება გამოაქვეყნეს. მათ აჩვენეს არა მხოლოდ ის, რომ მისაღები გადანაცვლება ყოველთვის შესაძლებელია, არამედ ისიც, რომ შემთხვევითი რიგის გადალაგებით ცუდი მოვლენების თავიდან აცილება სულ მცირე 90%-ში შეიძლებოდა. ეს ძალიან მაღალი წარმატების მაჩვენებელია.
მათემატიკოსები, რომლებიც მანამდე ამ პრობლემაზე მუშაობდნენ, გაოცდნენ, რომ დარჩენილი შემთხვევა ასე სწრაფად ამოიხსნა. „მათი მიდგომა სრულიად განსხვავებულია“, თქვა მიუსერმა.
ოთხივე ნაშრომი ერთად გრემის ვარაუდს ნებისმიერი ზომის ნაკრებისთვის ამტკიცებს. თუმცა ყველა მათგანი ვარაუდობს, რომ p ძალიან დიდია. ზუსტი მნიშვნელობა არავის დაუთვლია, მაგრამ ის დაახლოებით 10-ის მეასე ხარისხის მასშტაბისაა. მათემატიკოსებისთვის ეს მისაღებია, რადგან მთავარი ისაა, რომ საკითხი საათობრივი არითმეტიკის სისტემაში განიხილება. თუმცა პრობლემის კიდევ ერთი ნაწილი ტექნიკურად გადაუჭრელი რჩება: ჯერ კიდევ შეიძლება ვარაუდის დამტკიცება p-ის ყველა მნიშვნელობისთვის სცადოთ. ხოლო თუ შედეგის რეალური ჟონგლიორობის ნომრის დაგეგმვისთვის გამოყენება გსურთ, ეს ვერ გამოგადგებათ. ასეთ დიდ p-ს შესაბამისი ნომერი ზედმეტად ხანგრძლივი უნდა იყოს.
მტკიცება ადასტურებს, რომ რიცხვთა ამ უცნაურ და შეზღუდულ სისტემებშიც „ყოველთვის არსებობს კარგი სტრუქტურები“, თქვა ალონმა. ყოველთვის შეიძლება გარკვეული მოქნილობის მიღწევა და ნაკრებში რიცხვების ისე გადაადგილება, რომ ერთი და იგივე ნაწილობრივი ჯამები აღარ განმეორდეს.
„კარგი პრობლემის დასმა ნამდვილად ხელოვნებაა“, თქვა ჩუნგმა. „ვფიქრობ, რონი ძალიან ბედნიერი იქნებოდა, ეს პრობლემა ამოხსნილი რომ ენახა“.
კომენტარი (0)
გაგვიზიარე შენი აზრი.
კომენტარები ავტომატურად მოწმდება.
აზრის გასაზიარებლად შექმენი ანგარიში ან შედი.
კომენტარები ჯერ არ არის. დაწერე პირველი.